Maxime Esteve del Burnley ha giocato 16 gare di Premier League nel 2023/2024 dopo aver raggiunto il club il 1 febbraio 2024, essendo partito titolare in 15 di queste ed essendo essendo entrato dalla panchina 1 volta.
Esteve ha collezionato la sua ultima presenza il 19 maggio, con il Burnley: una sconfitta per 2-1 contro il Nottingham Forest, in cui ha giocato 90 minuti. Ha ricevuto 6 cartellini gialli.
Nell'ultima stagione con il Montpellier in Ligue 1 Esteve ha collezionato 23 presenze.
Il difensore è passato a giocare in prestito con il Burnley nel febbraio 2024.
Il 3 febbraio 2024 Esteve ha debuttato in Premier League, all'età di 21 anni e 253 giorni contro il Fulham. In generale in Premier League, ha collezionato 16 partite, senza gol e senza assist.